Quadratische Gleichung mit drei Koeffizienten lösen

Geben Sie die drei Zahlen Ihrer Gleichung ax² + bx + c = 0 ein und starten Sie die Berechnung. Sie erhalten die Wurzelart, passende Wurzelwerte oder komplexe Bestandteile sowie den Scheitelpunkt.

Wofür der Rechner geeignet ist

Mit diesem Rechner lösen Sie Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0, indem Sie die drei numerischen Koeffizienten getrennt angeben. Die Ausgabe ordnet die Wurzeln als reell oder nicht reell ein und ergänzt die Wurzelwerte um Koordinaten des Scheitelpunkts. Damit eignet sich die Eingabe sowohl für eine kurze Kontrolle einer Rechnung als auch für die strukturierte Betrachtung der zugehörigen quadratischen Funktion. Entscheidend ist, dass die Zahlen aus Ihrer Gleichung den richtigen Buchstaben zugeordnet werden: a steht vor dem quadratischen Term, b vor x und c für den konstanten Term. Eine fehlende Angabe wird nicht beliebig interpretiert, sondern durch einen festgelegten Standardwert ersetzt. Prüfen Sie deshalb vor dem Start, ob Ihre Gleichung vollständig übertragen wurde und ob das Vorzeichen jedes Koeffizienten stimmt.

Quadratische Gleichung Schritt für Schritt lösen

1. Formen Sie die Gleichung zunächst in ax² + bx + c = 0 um. Bringen Sie Terme auf die passende Seite und lesen Sie danach die drei Zahlen vor x², x und dem konstanten Term ab. So vermeiden Sie, dass etwa ein negatives Vorzeichen oder ein fehlender Term dem falschen Koeffizienten zugeordnet wird.

2. Tragen Sie a, b und c in die vorgesehenen Felder ein. Für eine nicht angegebene Zahl gelten die Standardwerte a = 1, b = 0 und c = 0. Ein fehlender linearer Term entspricht also b = 0; fehlt der konstante Term, setzen Sie c = 0. Kontrollieren Sie besonders a, weil dieser Wert den quadratischen Anteil festlegt.

3. Starten Sie die Berechnung und lesen Sie zunächst die Diskriminante ab. Bei einem positiven Wert werden zwei reelle Wurzeln sowie Koordinaten des Scheitelpunkts ausgegeben. Bei einem Wert von null sind die Wurzeln reell und gleich; die Ausgabe enthält dann zwei gleiche Wurzelwerte und ebenfalls Scheitelpunktkoordinaten. Bei einem negativen Wert sind die Wurzeln nicht reell, und das Ergebnis nennt die reellen und imaginären Bestandteile der komplexen Wurzeln.

4. Vergleichen Sie die Ausgabe mit Ihrer Erwartung, ohne zusätzliche Nachkommastellen hineinzuinterpretieren. Diskriminante, Wurzelwerte und Scheitelpunktwerte werden auf zehn Dezimalstellen gerundet. Eine Diskriminante von null wird als 0 ausgegeben. Notieren Sie bei komplexen Wurzeln die beiden Bestandteile gemeinsam, statt sie als zwei reelle Lösungen zu lesen.

Ergebnis richtig einordnen

Das Vorzeichen der Diskriminante liefert die wichtigste Einordnung des Ergebnisses. Ein positiver Wert steht für zwei reelle Wurzeln, während null auf zwei gleiche Darstellungen derselben reellen Wurzel hinweist. Bei einem negativen Wert enthält die Ausgabe keine reellen Wurzeln, sondern die getrennten reellen und imaginären Komponenten der komplexen Lösungen. Die angezeigten Koordinaten des Scheitelpunkts beschreiben zusätzlich einen markanten Punkt der zugehörigen Parabel und sind unabhängig davon zu lesen, welche Wurzelart vorliegt.

Die Rundung auf zehn Dezimalstellen betrifft sowohl die berechnete Diskriminante als auch die gemeldeten Wurzel- und Scheitelpunktwerte. Deshalb kann die Darstellung von einer Handrechnung mit mehr Stellen abweichen, ohne dass die Einordnung des Falls dadurch wechselt. Maßgeblich ist außerdem die Form der Eingabe: Vorgesehen sind numerische Koeffizienten für a, b und c. Setzen Sie a auf 0, wird die Berechnung nicht erfolgreich ausgeführt; dieser Fall wird nicht als lineare Gleichung gelöst.

Praktisches Beispiel

Für die Koeffizienten 1, -3 und 2 wird eine quadratische Gleichung mit positiver Diskriminante berechnet.

Geben Sie für die Gleichung x² - 3x + 2 = 0 die Werte a = 1, b = -3 und c = 2 ein und starten Sie danach die Berechnung.

Das Ergebnis weist reelle Wurzeln aus, enthält die beiden Wurzelwerte 1 und 2 und nennt als Scheitelpunkt die Koordinaten (1.5, -0.25).

Einschränkungen

• Die Funktion ist auf numerische Koeffizienten der Form ax² + bx + c = 0 ausgerichtet. Für a = 0 wird kein lineares Ergebnis berechnet.

Häufige Fehler

• Ursache: a wurde als 0 eingetragen oder die Zahlen wurden beim Umformen falsch zugeordnet. Korrektur: Schreiben Sie die Gleichung in die Standardform und prüfen Sie, dass a vor x² steht und nicht 0 ist, bevor Sie die Berechnung starten.

Häufige Fragen

Was passiert bei a = 0?

Wenn a = 0 eingetragen ist, endet die Berechnung mit einem nicht erfolgreichen Ergebnis. Dieser Fall wird nicht als lineare Gleichung gelöst, daher muss der Koeffizient des quadratischen Terms geprüft werden.

Was zeigt das Ergebnis bei einer negativen Diskriminante?

Bei einer positiven Diskriminante erscheinen zwei reelle Wurzelwerte und Scheitelpunktkoordinaten. Bei einer negativen Diskriminante werden stattdessen die reellen und imaginären Bestandteile der komplexen Wurzeln ausgegeben.

Warum unterscheidet sich ein angezeigter Wert von meiner Handrechnung?

Die Diskriminante sowie die Wurzel- und Scheitelpunktwerte werden auf zehn Dezimalstellen gerundet. Ist die Diskriminante null, wird dieser Wert als 0 dargestellt; dadurch kann die Anzeige von einer längeren Handrechnung abweichen.